凯利公式的数学推导

假设初始时,某人拥有资产A_{0},它将资产的某个固定的百分比f投资于期货,对于一次交易,假设若盈利,则获得a_{1}的收益,若亏损,则损失a_{2}

若盈利,则其资产满足如下等式:

A_{t}=A_{t-1}*(1-f)+A_{t-1}*f*(1+a_{1})

若亏损,则其资产满足如下等式:

A_{t}=A_{t-1}*(1-f)+A_{t-1}*f*(1-a_{2})

将上述式子整理可得:

A_{t}=A_{0}*(1+a_{1}*f)^{W}*(1-a_{2}*f)^{L}

其中W代表盈利的次数,L代表亏损的次数:

log(\frac{A_{t}}{A_{0}})^{1/T}=\frac{W}{T}*log(1+a_{1}*f)+\frac{L}{T}*log(1-a_{2}*f)

对两边取极限,得到:

\lim_{T\rightarrow \infty }log(\frac{A_{t}}{A_{0}})^{1/T}=p*log(1+a_{1}*f)+(1-p)*log(1-a_{2}*f)

左边是年化收益,右边对f求导可得:

f^{*}=\frac{pa_{1}-(1-p)a_{2}}{a_{1}a_{2}}

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